这篇文章的实现，无关目前算法领域大火的神经网络，而是基于泊松方程推导得出。

　　很多朋友比较熟悉概率论里面的泊松分布。泊松方程，也是同一个数学家泊松发明的。但却和泊松分布没有什么关系，是泊松物理学领域提出的一个偏微分方程。

　　比较熟悉，分别表示二阶微分（直角坐标系下的散度）、一阶微分（直角坐标系下的梯度）。

　　连续空间中的微分计算，就是大学里微积分那一套公式。但是在计算机的世界里，数据都是在离散空间中进行表示，对于图像而言，基本的计算单元就是像素点。让我们从最简单的情形，一维数组的微分说起：

　　，上面的微分算式的结果会逐渐逼近真实的微分值。对于图像而言，这里 h 最小可分割单元是像素，也就表示像素间的间距，可视为 1。再看看，二阶微分的公式，是不是可以看成

　　至此，不难理解，离散数据（例如图像）上的微分操作完全可以转换为卷积操作。

　　已知图像点二阶微分值（直角坐标系下即散度 div）的情况下，求解各个图像点的像素值。

　　因此，我们需要另加入至少 12 个更多的方程式，也就是说，需要把剩余 12 个边界点的值确定，即需要确定边界条件。边界一般符合 2 种常见的边界条件：

　　Neumann 边界，译为纽曼边界或黎曼边界，给出函数在边界处的二阶导数值；

　　Dirichlet 边界，狄利克雷边界，给出边界处函数在边界处的实际值。

　　但给定边界条件之后，就可以有 16 个方程式组成的方程组了，矩阵化表示此方程组之后，得到形式为

　　，大家就应该放松了，不就是解方程嘛，用雅可比迭代法或者高斯赛德尔迭代法来求解就 OK 了。

　　背景知识储备好了后，让我们把目光拉回到论文《Poisson Image Editing》上。

　　重点关注两个词：内容平滑、边界一致。平滑是什么？可以理解成图像前景、背景梯度相同。边界一致是指什么？可以理解成在边界上像素值相同。再用一张图来说明：

　　这里如果接触过泛函的朋友会比较开心，没接触过的朋友可以先看看欧拉-拉格朗日方程。

　　因为需要平滑，div v取值需要同时参考前景图片和背景图片，可以直接等于前景像素的散度，也可以在前景和背景在同一点像素的散度进行某种组合得到（论文中在 Selection cloning 和 Selection editing 章节有讨论各自合适的场景，但个人以为这里采取学习的方法应该更鲁棒，而不是用固定的策略来区分）。anyway，div v是可以计算的已知量；

　　因为需要保持边界一致，边界条件上像素值等于背景图片即可。当然也可以做一些策略，但同样也可以计算得到的已知量。

　　现在很轻松了，边界条件已知、散度已知，在离散空间中求解泊松方程中的 f，参考上一节的求解过程即可。

　　使用的时候，需要三张图片：前景图、背景图、mask 图（指明前景图中需要融合的区域，最简单的就是直接等于前景图大小的 mask，待融合区域是白色，其余位置黑色）。

　　下面我们使用 OpenCV 的 Python 接口来动手试试，用到以下两张图以及一段代码：